4 速度と加速度
この章では, 前章で整えた位置の記述に時刻を導入し, 運動を記述する. 前章では, 位置の表し方, ベクトル, 座標系, 多変数関数の変化の記述を扱った. ここではその続きとして, 軌道, 速度, 加速度, 時間微分, 積分, 次元解析を考える.
4.1 はじめに
物体の位置が時刻 \(t\) とともに変わるとき, 位置ベクトルは
\[ \mathbf{r} = \mathbf{r}(t) \]
と書ける. こうしてはじめて, 位置の記述は運動の記述へ進む.
4.2 この章で扱うこと
- 速度ベクトル
- 加速度ベクトル
- 速度と加速度の積分
- 微小量の足し合わせとしての積分
- 次元解析
4.3 第1章とのつながり
前章では
\[ df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} \]
という形で, 空間内の微小変化を記述した. この章では, まず位置を時刻の関数 \(x(t), y(t), z(t)\) とみなし, そこから速度と加速度を導入する.
たとえば, 位置ベクトルの時間変化を考えると, 速度
\[ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]
が定義される.
第1章の内容を用いると, 位置に依存する量 \(f(\mathbf{r}(t))\) の時間変化は, チェーンルールによって
\[ \frac{d}{dt}f = \mathbf{v} \cdot \nabla f \]
と書ける. これは, この章の運動学を統一的に見るための補足的な見方である.
4.4 第3週: 速度と加速度
4.5 速度 (教科書2.1章)
4.5.1 定義（1次元）
1次元で位置を \(x(t)\) と書くと, 平均速度は
\[ \bar{v}(t) = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} \]
である. 時間間隔 \(\Delta t\) を 0 に近づけると, 瞬間速度
\[ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} \]
が得られる. つまり, 速度は位置の時間微分である.
4.5.2 3次元の場合
3次元では
\[ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \]
と書けるから, 速度ベクトルは
\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) \]
となる. 速度は大きさだけでなく向きをもつので, ベクトルとして扱うのが自然である.
4.5.3 基底を使った表現
デカルト座標の基底を用いれば
\[ \mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{e}_x + y(t)\mathbf{e}_y + z(t)\mathbf{e}_z \]
であり,
\[ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{x}\mathbf{e}_x + \dot{y}\mathbf{e}_y + \dot{z}\mathbf{e}_z \]
と書ける. デカルト座標では基底 \(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z\) は時間に依らないので, 成分だけを微分すればよい.
4.5.4 極座標（2次元）
2次元極座標では
\[ \mathbf{r} = r \mathbf{e}_r \]
である. 速度はこれを時間微分して求める.
まず, 積の微分を使うと
\[ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(r\mathbf{e}_r) = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\frac{d\mathbf{e}_r}{dt} \]
となる. ここで重要なのは, 極座標では基底ベクトル \(\mathbf{e}_r\) 自身も時間とともに変化することである.
実際,
\[ \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \dot{\phi}\mathbf{e}_\phi,\qquad \frac{d\mathbf{e}_\phi}{dt} = -\dot{\phi}\mathbf{e}_r \]
が成り立つ. したがって, 上の式に代入すると
\[ \mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\frac{d\mathbf{e}_r}{dt} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\phi}\mathbf{e}_\phi \]
を得る.
このように, 極座標での速度の式は天下りではなく, 位置ベクトルを時間微分し, 基底ベクトルの時間変化を追えば導ける.
4.5.5 ポイント
- 速度は位置の時間微分である
- 速度はベクトルであり, 向きをもつ
- 座標系によって成分表示の形は変わる
- 極座標では基底も時間依存する
4.6 加速度 (教科書2.2章)
4.6.1 定義
加速度は速度の時間微分として
\[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} \]
で定義される.
4.6.2 デカルト座標
デカルト座標では基底が時間に依らないので, 速度ベクトルを成分ごとにもう一度時間微分すればよい. したがって
\[ \mathbf{a} = \left( \frac{d^2 x}{dt^2}, \frac{d^2 y}{dt^2}, \frac{d^2 z}{dt^2} \right) \]
となる.
4.6.3 極座標（2次元）
極座標では, すでに見た速度
\[ \mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\phi}\mathbf{e}_\phi \]
をさらに時間微分すれば加速度が得られる. ただし, ここでは成分だけでなく基底ベクトルも時間変化するので, その微分も一緒に追わなければならない. その結果,
\[ \mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\phi}^2)\mathbf{e}_r + \left( \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi}) \right)\mathbf{e}_\phi \]
となる. 極座標では基底ベクトルが時間変化するため, その微分から追加の項が現れる. 第1項には半径方向の加速度と, 円運動に伴う向心的な寄与 \(-r\dot{\phi}^2\) が現れ, 第2項には角度方向の変化が入る. 詳しい導出は, 速度の式を時間微分して各項を整理すれば追うことができる.
4.6.4 ポイント
- 加速度は速度の時間微分である
- 極座標では基底の微分が効く
- そのため, 見かけ上あらたな項が現れる
4.7 第4週: 積分と次元解析
4.8 速度・加速度の積分 (教科書2.3章)
4.8.1 基本関係
速度は位置の時間微分だから,
\[ dx = v(t) dt \]
である. これを積分すると,
\[ x(t) - x(0) = \int_0^t v(t)\, dt \]
を得る. つまり, 速度を時間で積分すると変位が得られる.
4.8.2 加速度との関係
同様に, 加速度は速度の時間微分なので
\[ dv = a(t) dt \]
であり,
\[ v(t) - v(0) = \int_0^t a(t)\, dt \]
となる. 加速度を時間で積分すると速度の変化が得られる.
4.8.3 まとめ
ここで基本式を並べると,
\[ v = \frac{dx}{dt},\qquad a = \frac{dv}{dt} \]
である.
運動学の基本的なつながりは
\[ x \leftrightarrow v \leftrightarrow a \]
と整理できる.
- 微分は右向きである
- 積分は左向きである
4.9 微小量の足し合わせとしての積分 (教科書2.4章)
積分は, 微小な量を足し合わせる操作として理解できる. これは運動だけでなく, 長さ, 面積, 体積などの幾何量にも共通している.
2.3 で見た「速度を積分すると変位が得られる」という関係も, 微小な変化を足し合わせるという積分の考え方の一例である.
4.9.1 線積分（距離）
平面内の微小距離は
\[ ds^2 = dx^2 + dy^2 \]
で与えられる.
曲線が媒介変数表示
\[ (x(t), y(t)) \]
で与えられるときは,
\[ s = \int \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }\,dt \]
と書ける. これは \(s = \int ds\) を具体的に書いたものである.
\[ ds = \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 } dt \]
したがって曲線の長さは, 各瞬間の微小距離を積分して得られる.
4.9.2 面積分
デカルト座標では, 小さな長方形の面積を考えれば, 微小面積は
\[ dA = dx\,dy \]
と書ける. したがって, 面積は
\[ A = \int dA \]
となる.
4.9.3 体積積分
同様に, 小さな直方体の体積を考えれば, 微小体積は
\[ dV = dx\,dy\,dz \]
であり, 体積は
\[ V = \int dV \]
で与えられる.
4.9.4 極座標・球座標での体積要素
座標系を変えると, 微小量の形も変わる. これは, 同じ面積や体積でも, 微小領域の形が座標に応じて変わるからである. たとえば 2 次元極座標では, 微小扇形の面積を考えると
\[ dA = r\,dr\,d\phi \]
となる. また, 3 次元球座標では微小な扇形の立体を考えることで
\[ dV = r^2 \sin\theta \, dr\,d\theta\,d\phi \]
となる. これらの式は, 微小な面積や体積の形を丁寧に考えることで導ける. ここでも「何を積分するか」は座標によって見かけが変わるが, 幾何学的に表している量は同じである.
4.9.5 ポイント
- 積分は微小量の和である
- 幾何量も積分で表せる
- 座標系が変わると微小量の形も変わる
4.10 次元解析 (教科書2.5章)
4.10.1 基本次元
力学では, 量の性質を調べるために次元を用いる. 基本となる次元は
- 長さ：\(L\)
- 質量：\(M\)
- 時間：\(T\)
である.
4.10.2 例
速度, 力, エネルギーの次元は, それぞれの定義から
\[ [v] = LT^{-1} \]
\[ [F] = MLT^{-2} \]
\[ [E] = ML^2 T^{-2} \]
となる.
4.10.3 一般形
一般の物理量 \(O\) は
\[ [O] = M^\alpha L^\beta T^\gamma \]
の形で表せる.
4.10.4 重要原則
- 異なる次元の量は足せない
- 単位が合わない式は誤りである
次元解析は, 式がもっともらしいかを確かめるための基本的な検査でもある.
4.10.5 例（単振動）
単振動の角振動数
\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
を考える. ここで, ばね定数の次元は
\[ [k] = MT^{-2} \]
である. したがって,
\[ [\omega] = \sqrt{\frac{MT^{-2}}{M}} = T^{-1} \]
となる. この式は時間の逆数としての角振動数の次元と整合している.
4.10.6 ポイント
- 次元解析は式の誤りを見抜く手段になる
- スケーリングの理解にも役立つ
4.11 まとめ
この章では, 時刻を導入することで, 位置の記述を運動の記述へ進めた.
- 速度は位置の時間微分である
- 加速度は速度の時間微分である
- 積分は微小量の足し合わせとして理解できる
- 次元解析は物理式の整合性を調べる基本手段である
第1章の
\[ df = \nabla f \cdot d\mathbf{r} \]
と, この章の
\[ \frac{d}{dt} f = \mathbf{v} \cdot \nabla f \]
は, 空間の微小変化と時間発展の対応を示している. 第1章で導入した微分の構造が, そのまま運動学の基本式へつながっているのである.