12 第2週の確認模擬問題
このページには, 第2週の講義内容に対応する確認模擬問題をまとめる. 問題文のみを載せるので, 必要に応じて講義ノートと教科書を見直しながら考えること.
問題1
2 次元極座標で点 \(P\) が
\[ (r,\theta) = (4, \pi/3) \]
で与えられている.
- この点のデカルト座標 \((x,y)\) を求めよ.
- 位置ベクトル \(\mathbf{r}\) を 2 次元デカルト座標での成分表示で書け.
問題2
2 次元極座標で
\[ \mathbf{r} = (r\cos\theta, r\sin\theta) \]
とする. 点 \((r,\theta) = (3,\pi/6)\) において次を求めよ. ただし, ベクトルはすべて 2 次元デカルト座標での成分表示で答えること.
- \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\)
- \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\)
- \(\mathbf{e}_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\)
問題3
関数
\[ f(x,y) = x^2 + 2xy \]
を考える. 曲線
\[ y = x^2 \]
に沿って動くとき, 点 \((1,1)\) における \(\frac{df}{dx}\) を求めよ.
問題4
関数
\[ f(x,y) = x^2 - y \]
と, 媒介変数表示
\[ x = 1+t,\qquad y = t^2 \]
を考える.
- \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ.
- チェーンルール
\[ \frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \frac{dx}{dt}\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{dy}{dt}\frac{\partial f}{\partial y} \]
を用いて \(\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))\) を求めよ. 3. \(t=1\) での値を求めよ.
問題5
3 次元球座標で
\[ (r,\theta,\phi) = (2,\pi/3,\pi/6) \]
とする.
- 対応するデカルト座標 \((x,y,z)\) を求めよ.
- 位置ベクトル \(\mathbf{r}\) を 3 次元デカルト座標での成分表示で書け.