11  第1週の確認模擬問題

このページには, 第1週の講義内容に対応する確認模擬問題をまとめる. 問題文のみを載せるので, 必要に応じて講義ノートと教科書を見直しながら考えること.

問題1

3 次元のデカルト座標で, 点 \(P\) の座標が \((2, -1, 3)\) である.

1. 位置ベクトル \(\mathbf{r}\) を \(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z\) を用いて書け.
2. 点 \(P\) と原点との距離 \(|\mathbf{r}|\) を求めよ.

問題2

2 つのベクトル

\[ \mathbf{a} = (1, 2, -1),\qquad \mathbf{b} = (3, -1, 2) \]

を考える.

1. 内積 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) を求めよ.
2. ベクトル \(\mathbf{a}\) の長さ \(|\mathbf{a}|\) を求めよ.
3. \(\mathbf{a}\) と \(\mathbf{b}\) が直交しているかどうかを判定せよ.

問題3

関数

\[ f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 \]

を考える.

1. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) を求めよ.
2. \(\frac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ.
3. 点 \((1,2)\) における \(\frac{\partial f}{\partial x}\) と \(\frac{\partial f}{\partial y}\) の値を求めよ.

問題4

問題 3 と同じ関数

\[ f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2 \]

について, 点 \((1,2)\) から \((1+dx, 2+dy)\) へ微小に移るときの変化を考える.

1. 全微分 \(df\) を求めよ.
2. 点 \((1,2)\) における \(df\) を \(dx,dy\) を用いて表せ.
3. \(dx = 0.1,\ dy = -0.2\) のとき, 一次近似による変化量 \(df\) を求めよ.

問題5

2 次元極座標で

\[ x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta \]

とする. 点 \((r,\theta) = (2,\pi/6)\) において次を求めよ.

ただし, ベクトルはすべて 2 次元デカルト座標での成分表示で答えること.

1. 位置ベクトル \(\mathbf{r}\) を成分表示で書け.
2. \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\) を求めよ.
3. \(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\) を求めよ.
4. 角度方向の単位ベクトル \(\mathbf{e}_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\) を求めよ.