13 第3週の確認模擬問題
このページには, 第3週の講義内容に対応する確認模擬問題をまとめる. 問題文のみを載せるので, 必要に応じて講義ノートと教科書を見直しながら考えること.
問題1
1 次元運動で
\[ x(t) = 3t^2 - 2t + 1 \]
とする.
- 速度 \(v(t)\) を求めよ.
- 加速度 \(a(t)\) を求めよ.
- \(t=2\) における位置, 速度, 加速度を求めよ.
問題2
3 次元の位置ベクトルが
\[ \mathbf{r}(t) = (t^2,\ 2t,\ 1-t) \]
で与えられている.
- 速度ベクトル \(\mathbf{v}(t)\) を求めよ.
- 加速度ベクトル \(\mathbf{a}(t)\) を求めよ.
- \(t=1\) における \(\mathbf{v}\) と \(\mathbf{a}\) を求めよ.
問題3
2 次元極座標で
\[ r(t) = 2t,\qquad \phi(t) = t^2 \]
とする.
- 速度ベクトル
\[ \mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\phi}\mathbf{e}_\phi \]
を用いて \(\mathbf{v}\) を \(\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\phi\) で表せ. 2. \(t=1\) での係数を求めよ.
問題4
2 次元極座標で
\[ r(t) = 1+t,\qquad \phi(t) = 2t \]
とする.
- \(\dot{r}, \ddot{r}, \dot{\phi}, \ddot{\phi}\) を求めよ.
- 加速度
\[ \mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\phi}^2)\mathbf{e}_r + \left( \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi}) \right)\mathbf{e}_\phi \]
を用いて, \(\mathbf{a}\) を \(\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\phi\) で表せ. 3. \(t=0\) での加速度を求めよ.
問題5
関数
\[ f(x,y) = x^2 + y^2 \]
と運動
\[ x(t) = t,\qquad y(t) = 2t \]
を考える.
- \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) を求めよ.
- 公式
\[ \frac{d}{dt}f = \mathbf{v}\cdot\nabla f \]
または
\[ \frac{d}{dt}f(x(t),y(t)) = \frac{dx}{dt}\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{dy}{dt}\frac{\partial f}{\partial y} \]
を用いて \(\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))\) を求めよ. 3. \(t=1\) での値を求めよ.